Геометрическое черчение - Техническое черчение

Геометрические кривые

2010-06-22T13:10:58Z

Геометрические кривые имеют большое практическое применение в машиностроительной и строительной технике при конструировании деталей машин, исследовании процессов в машинах и т. п.

Они разделяются на циркульные и лекальные. К первым относятся завитки, овалы и т. п.; ко вторым —эллипсы, гиперболы, спирали, рулеты, синусоидальные кривые и т. п.

Рассмотрим построение этих кривых.

А. Циркульные кривые

Завитки. Завиток представляет собой кривую, приближающуюся по форме к спирали, вычерченной дугами окружностей. Завитки бывают двух-, трёх-, четырёх- и многоцентровые.

Построение двухцентрового завитка. Для построения двухцентрового завитка (фиг. 78) задаёмся расстоянием с между центрами 1—2.

Через центры 1 и 2 проводим прямую, и из точки 1 описываем полуокружность радиуса с до пересечения с продолжением той же прямой в точке p. Затем из центра 2, описываем полуокружность радиуса 2c до пересечения с прямой qs в точке t. Далее снова переходим в центр 7, откуда строим полуокружность радиуса Зс до пересечения с прямой в точке q и т. д.

Построение трёхцентрового завитка. Для построения завитка, имеющего три центра 1> 2 и 3 (фиг. 79), находящихся на равных расстояниях с один от другого, необходимо предварительно построить равносторонний треугольник 7, 2, 3 и продолжить его стороны так, как это показано на фигуре.

Из центра 7 проводим дугу З—к радиусом 1—3, равным с, до пересечения с продолжением стороны 2—1. Затем из центра 2 описываем дугу кр радиусом, равным 2c, до пересечения с продолжением стороны 3—2 в точке p, после чего из центра 3 проводим дугу pq радиусом, равным Зс, до пересечения с продолжением стороны 1—3 в точке q. После этого возвращаемся в центр 1 и продолжаем построение в такой же последовательности, каждый раз увеличивая радиус дуги на величину с.

Построение многоцентровых завитков выполняется аналогично построению, приведённому на фиг. 80 и 81.

Овалы (коробовые кривые). Овалом называется замкнутая кривая, состоящая из сопряжённых дуг окружностей разных радиусов. Овалы по форме напоминают эллипсы. Поэтому в практике в тех случаях, когда требуется построить эллипс, нередко вычерчивают овал, так как построение его значительно проще. Приводим несколько способов построения овалов.

Построение овала по заданной большой оси AB делением её на три равные части (фиг. 82). Делим заданную ось AB на три равные части и описываем из точек деления 7 и 2, как из центров, окружности радиусом А—1, получим точки 3 и 4.

Центрами сопряжения дуг овала будут точки 7, 2, 3 и 4. Для нахождения точек сопряжения проводим из центра 3 прямые через точки 7 и 2, а из центра 4—прямые 4—1 и 4—2. Найденные точки а, b, с и e будут точками сопряжения дуг овала.

Из центров 7 и 2 проводим дуги радиусом 1—а, а из центров З—4—радиусом З—а.

Построение овала по заданной большой оси AB при условии, что расстояние между центрами O-1 и 0-2=1/4 AB (фиг. 83). Через центр овала О проводим малую ось перпендикулярно AB и из того же центра радиусом 0—1=1/20A описываем окружность. Пересечение последней с малой осью определит центры 3 и 4. Дальнейшее построение аналогично предыдущему.

Построение овала по заданной малой оси СЕ (фиг. 84). Через середину О заданной малой оси СЕ проводим перпендикулярно к ней большую ось овала. Из центра О описываем окружность радиусом ОС. Пересечение её с большой осью определит центры 7 и 2 дуг сопряжения аb и се. Центрами дуг aCc и bЕе соответственно будут точки E и C.

Построение овала по двум заданным осям AB и CD (фиг. 85). Соединяем концы осей прямой CB и из центра О описываем дугу радиуса OB до пересечения с малой осью в точке B'. Затем из точки С,

как из центра, проводим дугу радиуса CB' (разность полуосей) до пересечения с прямой CB в точке В".

Через середину отрезка B"B проводим перпендикуляр и продолжаем его до пересечения с полуосями OB и OD в точках 7 и 2, которые будут центрами сопряжения дуг аb и ас. Центры 3 и 4 определяются как точки, симметричные центрам 7 и 2.

Б. Лекальные кривые

Архимедова спираль (фиг. 86). Архимедова спираль представляет собою плоскую кривую, образованную точкой, равномерно движущейся по радиусу-вектору, который в то же время равномерно вращается вокруг неподвижной точки О.

Точки архимедовой спирали подчинены уравнению p=Rф, где p-pa- диус-вектор; ф—угол вращения; R—радиус окружности.

Пусть даны: центр О и радиус R окружности, ограничивающей кривую. Для построения по этим данным спирали разделим окружность и радиус на одно и то же число равных частей, например на 12.

Через точки деления радиуса проводим 12 концентрических окружностей, а через точки деления окружности 12 радиусов. Затем нумеруем окружности и радиусы, как показано на фиг. 86. Точки пересечения одноимённых концентрических окружностей и радиусов принадлежат кривой архимедовой спирали. Соединение точек О; 1', 2', 3' и т. д. производится при помощи лекала. По архимедовой спирали строится профиль фасонной фрезы.

Логарифмическая спираль (фиг. 87). Логарифмическую спираль можно построить подобно спирали Архимеда как траекторию точки, перемещающейся по радиусу-вектору, в то время как сам радиус-вектор вращается вокруг неподвижной точки.

При этом, если угол поворота радиуса-вектора изменяется в арифметической прогрессии, то радиус-вектор изменяется в геометрической прогрессии.

Особенностью логарифмической спирали является то, что угол, образованный касательной k любой точке кривой с радиусом-вектором, есть величина постоянная. Этим свойством обладает также окружность, у которой этот угол составляет 45°. Следовательно, при одинаковых углах между радиус-векторами хорды, соединяющие концы их, образуют с соответственными радиусами равные углы.

Рассмотрим построение логарифмической спирали на примере. Пусть дан полюс О и отрезок прямой, равный OA, причём точка А принадлежит спирали. Требуется построить логарифмическую спираль (фиг. 87). Через полюс О проводим под равными углами друг к другу радиусы-векторы. В нашем примере они проведены под углом 45°. Из точки А под углом к радиусу-вектору OA строим хорду A1. Угол должен быть задан как параметр, характеризующий данную спираль; в этом примере а = 60°. Построенная хорда пересечёт смежный радиус-вектор в точке 1, также принадлежащей спирали. Проведя из точки 1 хорду под тем же углом, получим на радиусе-векторе 02 точку 2, принадлежащую этой спирали. Следующие точки находятся таким же образом. Получив точки первого оборота спирали, строим дальше в таком же порядке точки, принадлежащие второму, третьему и т. д. оборотам. Число оборотов для этой спирали бесконечно. Полюс О в этом случае является асимптотической точкой.

Логарифмическая спираль применяется в технике для затылования зубцов фасонных фрез, в частности зуборезных фрез.

Эллипс. Если прямой круговой конус рассечь наклонной плоскостью так, чтобы она пересекла все его образующие, то в плоскости сечения получится замкнутая кривая—эллипс; углы наклона секущей плоскости и образующей конуса к плоскости основания его будут иметь зависимость а < p (фиг. 88).

Эллипсом называется замкнутая плоская кривая, сумма расстояний каждой точки которой до двух точек (симметрично расположенных на большой оси относительно центра кривой), называемых фокусами, есть величина постоянная, равная большой оси эллипса (фиг. 89), т. е.

F₁M + F₂M = F₁K+ F₂K =AB.

Точки эллипса подчинены уравнению x²/a²+y²/b²=1, где а—малая полуось, b—большая полуось.

Существует несколько способов построения эллипса. Укажем на основные.

Построим эллипс по его главным осям—большой KL и малой — СE (фиг. 90).

Проводим из центра О произвольно ряд лучей, которые пересекут большую окружность в точках 1,3 и т. д., а малую—в точках 2,4 и т.д. Через точки пересечения на большой окружности проводим прямые, параллельные малой оси эллипса, а через точки пересечения на малой окружности—прямые, параллельные большой оси эллипса; полученные в пересечении точки а, b, С и т. д. принадлежат искомой кривой.

Рассмотрим эллипс как прямоугольную проекцию окружности. Два диаметра эллипса, являющиеся проекцией двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности, называются сопряжёнными диаметрами. Обратим внимание на одно свойство отрезков сторон параллелограмма, построенного на сопряжённых диаметрах эллипса. Рассмотрим окружность с описанным вокруг

неё квадратом (фиг. 91). Проведём через произвольную точку E хорду BE и секущую AM.

Треугольники OKB и AHМ равны. У них OB =AH, а кут НАМ равен куту KBO.

Следовательно, OK=HM. Так как OC=GH, OK/OC=HM/CH,

отрезок HМ составляет такую же часть отрезка НС, как отрезок OK отрезка ОС.

Как известно, прямоугольное проектирование не нарушит этих отношений (фиг. 92): квадрат спроектируется в общем случае в параллелограмм, окружность—в эллипс, точка E на окружности—в точку e на эллипсе, причём

OK/OC=hm/hc=HM/HC

На основании этого имеем способ построения точек эллипса по данной паре сопряжённых диаметров.

Сначала рассмотрим частный случай, когда сопряжённые диаметры KL и ЕМ пересекаются под прямым углом (фиг. 93). Построим прямоугольник по точкам К, Е, L и M и разделим большую сторону и малую ось на произвольное число равных частей, например на восемь. Через конечные точки большой оси К и L проводим ряд лучей, соединяющих эти точки с точками 1', 2', 3' и т. д. (деления стороны прямоугольника), и через точки 1, 2, 3 (деления малой полуоси). Лучи проводим до их взаимного пересечения. Полученные при этом точки a, b, с и т. д. принадлежат искомой кривой.

Рассмотрим теперь общий случай, когда угол между сопряжёнными диаметрами не прямой и эллипс надо вписать в параллелограмм. Задачу эту решим для случая построения диметрической проекции окружности (фиг. 94).

Проводим горизонтальную прямую. Берём на ней точку О. Строим в точке О сопряжённые диаметры эллипса KL и ЕМ: больший—под углом 7° к горизонтальной прямой, малый—под углом 41°. По большой оси откладываем LK = d, а по малой EM = 0,5LK = 0,5 d. Проведя через концевые точки К и L, E и M прямые, параллельные осям, получим параллелограмм.

Делим большую сторону параллелограмма и малую ось на равное число частей, например на восемь. Из точек К и L через точки деления проводим лучи; пересечение лучей К—1' и L- 1 дадут точку пересечения а; пересечение лучей K—2' и L—2—точку b и т. д.

Парабола. Если прямой круговой конус рассечь плоскостью, параллельной какой-нибудь образующей (a = ?), то в сечении будет кривая- парабола (фиг. 95).

Параболой называется плоская кривая, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от постоянной прямой—директрисы (фиг. 96), т. е. MK = MF.

Точки параболы подчинены управлению у² = 2px, где р—расстояние от фокуса F до директрисы; 2p—параметр параболы.

Парабола находит применение в машиностроении (очертаниях кронштейнов, фермах, зубчатых колёсах, коренных подшипниках, сопряжениях рёбер стоек и подвесках подшипников), в оптике (линзы, прожекторные зеркала и т. п.).

На фиг. 97 приведён способ построения параболы, основанный на определённых свойствах кривой.

Проводим взаимно перпендикулярные прямые TT и AM и принимаем одну из них—ТТ за директрису, а другую AМ—за ось параболы.На прямой AM откладываем отрезок AF равный P—выбранному нами расстоянию от фокуса до директрисы. Делим отрезок AF пополам. Середина его— точка О будет вершиной параболы, а точка ,F—фокусом.

Затем проводим через фокус F прямую, параллельную TT, и описываем из точки F дугу радиусом AF до пересечения с проведённой прямой; полученные точки С и E принадлежат параболе; AF=p; CE = CF + FE, но CF = EF=p, следовательно, CE = 2p.

Так же могут быть получены и другие точки параболы.

Возьмём, например, на оси произвольную точку 1 и проведём через неё вертикальную прямую. Сделав затем засечки на этой прямой дугой радиуса Л / из F, получим точки И и К, которые также принадлежат параболе.

Решим другую задачу. Пусть требуется через точку e провести касательную к параболе (фиг. 97). Для этого опускаем из точки e на ось параболы перпендикуляр ea. Откладываем On = Oa и соединяем точки n и e прямой, которая и будет искомой касательной.

В тех случаях, когда точка n выходит за пределы чертежа и провести прямую не представляется возможным, можно провести через вершину О касательную и на ней отложить отрезок OB, равный половине ae, и точку В соединить с точкой e. В этом случае прямая Be будет искомой касательной в точке e. Касательная к вершине параболы делит пополам любую касательную от точки её касания до точки пересечения с осью параболы.

Построим параболу по данным: вершине Л и одной из точек кривой—K (фиг. 98), Для построения промежуточных точек проводим из точек Л и К две взаимно перпендикулярные прямые до встречи в точке С и делим КС и АС на одинаковое число равных частей. Через точки деления на АС проводим прямые, параллельные CK, а из точки A—лучи к точкам деления на CK. Пересечение параллельных прямых с одноимёнными лучами определит точки, принадлежащие параболе.

На фиг. 99 приведено построение параболы по двум симметричным точкам А и В и точке К, заданной на оси параболы.

Строим по заданным точкам А, К и В треугольник AKB. Стороны AK и KB делим на одинаковое число равных частей, и точки деления соединяем следующим образом: нижнюю точку 1 прямой AK соединяем с верхней точкой 1 прямой KB, точку 2 прямой АК — с точкой 2 прямой KB и т. д. Проведённая таким образом сеть прямых образует систему касательных, определяющих форму кривой; огибающая этих касательных является параболой.

Пользуясь этим важным свойством касательной, в баллистике определяют наивысшую точку полёга пули или снаряда, теоретически принимая траекторию их полёта за параболу (фиг. 99).

Дальность полёта определяется хордой AB параболы, а угол вылета— углом наклона касательной AK к хорде AB.

Кубическая парабола (фиг. 100). Чтобы построить кубическую параболу, проходящую через точку Л, проводим прямую AB параллельно заданной оси ОХ, затем строим на ней, как на диаметре, полуокружность. Разделив прямые OB и AB на одинаковое число равных частей, в нашем примере на пять, получим на прямой OB точки 1, 2, 3 и 4, а на прямой AB—точки а, b, с, d, которые переносим на полуокружность

(точки а₁, b₁, с₁, d₁). Опускаем на прямую AB перпендикуляры a₁I, b₁II, c₁III и т. д., а из точек 1, 2, 3, 4 проводим прямые, параллельные ОХ. Точки I, II, III и т. д. соединяем с точкой О лучами. Пересечения лучей с прямыми дадут соответственно точки /₀, 2₀, 3₀, 4₀, принадлежащие кубической параболе. Найденные точки соединяем плавной кривой.

Гипербола. Если прямой круговой конус рассечь плоскостью, проходящей параллельно двум его образующим так, чтобы угол ? стал больше угла ?, то фигурой сечения будет плоская кривая—гипербола (фиг. 101). Гиперболой называется кривая, все точки которой обладают таким свойством: разность расстояний от каждой точки гиперболы до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная расстоянию между вершинами гиперболы FK — F₁K = AB=2a (фиг. 102).

Точки гиперболы подчинены уравнению

x²/a² - y²/h²=1

где а — половина расстояния между вершинами гиперболы;

b=?c² - a²;

с — половина расстояния между её фокусами.

Гипербола имеет две оси: действительную ось x и мнимую—y. При построении гиперболы пользуются асимптотами, внутри которых размещаются ветви гиперболы.

Асимптотами называются две прямые, проходящие через центр и касающиеся к гиперболе в бесконечности.

Если асимптоты образуют между собою угол 90°, то гиперболу называют равнобокой. Равнобокая гипербола имеет практическое применение при различных расчётах.

Построение равнобокой гиперболы (фиг. 103). Пусть даны асимптоты ОХ и ОУ и точка Я, принадлежащая ветви гиперболы. Проведём через точку P перпендикуляры MP и PC. На PC возьмём несколько произвольных точек 1, 2, 3 и 4_У проведём через них прямые, параллельные OX; затем через эти же точки проведём лучи, выходящие из точки О, до пересечения с прямой МК, проведённой через точку P— параллельно асимптоте ОХ. Из полученных точек пересечения опускаем перпендикуляры на соответствующие прямые, проведённые параллельно асимптоте OX, через точки 1, 2, 3 и 4. Точки пересечения а, b и e будут принадлежать искомой кривой.

Построение гиперболы по вершинам А и В и фокусам F' и F" (фиг. 104). Для построения асимптот гиперболы описываем из О радиусом, равным OF', окружность, а через вершины А и В проводим прямые, параллельные мнимой оси ОУ. Точки пересечения проведённых прямых с окружностью определят направление асимптот. Для получения отдельных точек, через которые пройдёт кривая, возьмём несколько произвольных точек, расположенных на действительной оси гиперболы справа от фокуса F', и обозначим их цифрами 1, 2, 3 и 4. Расстояние между ними увеличиваем (произвольно) по мере их удаления от F'. Принимая расстояния 1 - A и 1—В за радиусы- векторы, описываем из F' и F'' взаимно пересекающиеся дуги, точки пересечения которых принадлежат кривой. Действительно, разнoсть радиусов-векторов является для всех рассматриваемых точек (1, 2, 3 и 4) величиной постоянной, равной расстоянию между вершинами гиперболы. Таким образом, радиусами-векторами для точки 4 будут отрезки А—4 и В—4, разность которых равна AB, что и соответствует основному свойству кривой. Построение точек для левой ветви гиперболы выполняется так же, как и для правой.

Если прямые, проведённые через вершины А и В параллельно мнимой оси, пересекут окружность в равноудалённых от осей точках, то асимптоты будут взаимно перпендикулярны, а гипербола — равнобокой.

Циклоидальные кривые (рулеты). Циклоидальными кривыми называют траекторию точки круга, перекатывающегося без скольжения по прямой или неподвижному кругу. К этим кривым относят циклоиду, гипоциклоиду и эпициклоиду. Все они имеют практическое применение в машиностроении. Так, они используются при построении профилей зубцов цилиндрических, конических и винтовых зубчатых колёс.

Точка, описывающая при своём движении циклоидальную кривую, называется производящей. Окружность или прямая, по которым происходит перекатывание, называется направляющей.

Циклоида. Циклоидой называется кривая, которую описывает точка круга, катящегося без скольжения по прямой линии.

Пусть образующий круг диаметра d с взятой на нём производящей точкой К перекатывается по направляющей TT (фйг. 105). Точка К, перекатываясь вместе с кругом, опишет полный цикл кривой и снова придёт в соприкосновение с прямой ТТ. Расстояние между двумя последовательными положениями К на прямой TT соответствует полному

обороту кpyra и равно ?d. Чтобы определить промежуточные положения производящей точки в каждый момент, разделим прямую О₀—0₁₂на 12 равных частей. Точки O_l ,0₂, 0₃ и т. д. представляют последовательные положения центра образующего круга. Разделим и окружность на такое же число равных частей. Через точки деления проведём, параллельно направляющей, линии возвышения производящей точки.

Нетрудно представить, что при качении круга по направляющей расстояние между любой из этих точек и соответственным положением точки К остаётся неизменным.

Пусть центр окружности О переместится в О₁. Образующий круг

пройдёт путь, равный длине дуги К—1= ?d/12. Точка К перейдёт в положение 1' на пересечении окружности, проведённой из О₁ с первой линией возвышения производящей точки 1—11'.

Если центр окружности переместится в точку 0₂ , то производящая точка займёт положение точки 2' на пересечении окружности, проведённой из 0_2} со второй линией возвышения 2—10' и т. д.

Плавная кривая, соединяющая полученные точки, носит название нормальной циклоиды. Кроме нормальной, существуют циклоиды растянутые и сжатые.

Если взять точку К внутри круга, то такая точка опишет растянутую циклоиду. Пример построения растянутой циклоиды дан на фиг. 106.

Здесь производящая точка К находится на том же радиусе, что и производящая точка нормальной циклоиды. Чтобы определить отдельные положения движущейся точки К, достаточно определить направление радиусов, на которых располагается точка К в моменты перемещения круга из центра О в О₁0₂0₃ и т. д.

На каждом из этих радиусов необходимо отложить от точек 0₁ , 0₂, 0₃ и т. д. отрезки, равные ОК. Полученная при этом система точек определит форму кривой—растянутой циклоиды.

Пусть центр круга переместится в точку 0₄, тогда производящая точка нормальной циклоиды станет в точку 4'. Соединив точки 0₄ и 4' получим направление радиуса. Откладывая на радиусе 0₄—4' из точки 0₄отрезок, равный OK, определим точку К₄, принадлежащую растянутой циклоиде. Если точку К приближать к центру круга, то циклоиды таких производящих точек всё больше и больше будут растягиваться, приближаясь к линии 0 — 0₁₂, и, наконец, обратятся в прямую, когда точка К будет взята в центре круга О.

Если точку К удалять за пределы круга, то производящая точка будет описывать петли и форма циклоиды будет сжатой.

Подобный пример представлен на фиг. 107. Из чертежа видно, что способ построения сжатой циклоиды аналогичен построению растянутой циклоиды.

Эпициклоида. Эпициклоидой называется кривая, которую описывает точка круга, перекатывающегося без скольжения по направляющему кругу.

Пусть образующий круг диаметра d перекатывается по направляющему кругу диаметра D. Пусть точка а, лежащая на радиусе Oa, будет производящей (фиг. 108).

Построение точек эпициклоиды подобно построению циклоиды. При качении производящая точка опишет цикл кривой и после одного оборота круга переместится из точки а в точку 12, удалившись от первоначального положения по дуге направляющего круга на ?d.

В практике откладывают дугу путём построения в центре О угла а, равного 360° d/D.

Для определения промежуточных положений производящей точки делят образующий круг и дугу направляющего круга, соответственно углу ?, на 12 равных частей. Затем из центра О₀ через точки деления образующего круга проводят концентрические дуги возвышения производящей точки, а через точки деления направляющего круга—лучи.

Пересечение лучей с линией центров определит двенадцать последовательных положений центра образующей круга. Как и в циклоиде, при перемещении образующего круга на 1/12 цикла, произойдёт перемещение его центра из О в О₁ которому будет соответствовать первое положение производящей точки на дуге возвышения, отмеченное точкой 1. Если центр образующего круга переместится ещё на ¹/₁₂ своего пути и станет в точку 0₂, то образующий круг пройдёт путь а—2, равный длине дуги (2/12)?d направляющему кругу, а производящая точка займёт положение, отмеченное точкой 2'—на пересечении дуги, проведённой из центра 0₂ радиусом d/2, со второй дугой возвышения.

Производя такие же построения для последующих положений центра, определяют соответствующие положения производящей точки, а следовательно, и кривую—эпициклоиду.

Если образующий круг будет перемещаться и дальше по направляющему, то производящая точка опишет ещё одну эпициклоиду.

В рассмотренном примере приведено построение эпициклоиды для соотношения диаметров образующего и направляющего кругов, равных

d/D=1/2. В этом случае производящая точка а после второго цикла

займёт своё исходное положение.

Это отношение показывает, что производящая точка а придёт в исходное положение на направляющем круге, когда производящий круг диаметра d сделает два оборота и обернётся вокруг направляющего круга один раз. Производящая точка а опишет при этом две эпициклоиды и совпадёт с направляющим кругом в двух диаметрально противоположных точках.

Предположим, что отношение d/D=2/3 .

В этом случае производящая точка а придёт в исходное положение после того, как производящий круг диаметра d, сделав три оборота, обернётся вокруг направляющего круга диаметра D два раза. Производящая точка а опишет три эпициклоиды и на пути перемещения совпадёт с направляющим кругом в трёх равноудалённых точках.

Когда отношение d/D есть целое число, например d/D=5/1, то производящая точка а займёт исходное положение на направляющем круге после того, как производящий круг диаметра, сделав один оборот, обернётся вокруг направляющего круга диаметра d пять раз. Производящая точка опишет при этом одну эпициклоиду и, перемещаясь, будет иметь с направляющим кругом только одну точку совмещения, соответствующую исходному её положению.

В практике встречаются отношения d/D, составляющие неправильную

дробь, как, например, 2/3, 5/3, 7/3 и т. д.

Из рассмотренных примеров видно, что отношение d/D можно представить в виде равенства d/D=n/n₁ , где n₁—число оборотов образующего

круга по направляющему или число эпициклоид, описанных производящей точкой, либо число касаний этой точки с направляющим кругом до совмещения её во всех этих случаях с начальным положением. Одновременно n показывает число перекатываний образующего круга по направляющему (до момента совмещения производящей точки с её начальным положением).

Гипоциклоида. Гипоциклоидой называется кривая, которую описывает производящая точка, лежащая на образующем круге, катящемся без скольжения, внутри другого круга, называемого направляющим.

Построение точек гипоциклоиды производится тем же способом, что и эпициклоиды (фиг. 109).

Эвольвента (развёртка круга). Эвольвентой называется кривая, которая описывается любой точкой прямой, катящейся пo кругу без скольжения.

Образующей здесь является прямая, а направляющей—круг. Если гибкую нить, обёртывающую круг диаметром d (фиг. 110), разматывать с некоторым постоянным натяжением, то конец её, обозначенный точкой 1, опишет кривую 1, /, //, III ... VIII, называемую эвольвентой или развёрткой.

Отрезки нити 2—1, 3—II, 4—III и т. д.—касательные к точкам 2, 3, 4..., равны соответственным дугам 2—1, 3—1, 4—1 и т. д. развёртываемого круга.

Для построения эвольвенты разделим данную окружность на равное число частей, например восемь. Из точек деления проводим касательные перпендикулярно к радиусам. На прямой 1—VIII откладываем отрезок,

равный ?d, и делим его на 8 равных частей. На промежуточных касательных откладываем соответственные отрезки выпрямленных дуг. Так, например, на касательной к точке 2 откладываем отрезок, равный 1—1', и получим точку I. Отложив на касательной в точке 3 отрезок, равный 1-2', получим точку II и т. д.

Эвольвента применяется для вычерчивания профилей зубцов зубчатых колёс.

Кардиоида. Если через точку, взятую на окружности, провести во всех направлениях лучи, пересекающие эту окружность, и из каждой точки пересечения отложить вдоль каждого луча в обе стороны отрезки, равные диаметру этой окружности, то получим точки кривой, называемой кардиоидой. Для построения кардиоиды возьмём на окружности диаметра d точку К (фиг. 111) и проведём под произвольными углами a₁, a₂ т. д. лучи K1, K2, КЗ.

Из точек 1, 2, 3 и т. д. откладываем ня лучах в обе стороны отрезки, равные диаметру d. По одну сторону от точки К получим точки /, //, III и т. д., по другую—/', //', К, принадлежащие кардиоиде.

В машиностроении кардиоида применяется при изготовлении кулачков и других деталей.

Синусоида. Для построения синусоиды (фиг. 112) делим окружность на произвольное число равных частей, в данном примере на 12. На

такое же число частей делим прямую АВ, величина которой равна длине окружности ?d. В точках деления прямой AB по перпендикулярам к ней откладываем полухорды 1к, 2m и т. д., пропорциональные синусам центральных углов к01, m02 и т. д. Полученные точки 1, 2, 3 и т. д. соединяем по лекалу плавной кривой. Синусоида может быть сжатой или растянутой. В первом случае AB<?d, во втором — AB>?d.

Синусоидальными кривыми пользуются при исследовании гармонических колебательных процессов, происходящих в электрических машинах, аппаратах, для построения кулачков и т. п.

Политропа. Политропой называется кривая, выраженная уравнением ухⁿ=c, где c — постоянная величина. Для построения политропы по её показателю n и точке P, принадлежащей этой кривой (фиг. 113), проводим прямую OA под произвольным углом а к оси ОХ и прямую OB под углом ? к оси OY. Угол ? определяется из уравнения: 1+tg?= (l+ tg?)². Затем через точку P проводим прямые параллельно осям ОХ и OY до пересечения с OA в точке а и с OY в точке е. Потом из точек а и e проводим к ОХ и ОУ под углом 45° прямые, засекающие точки а' и e'. Далее через полученные точки проводим прямые параллельно осям до их взаимного пересечения в точке 1, которая и будет принадлежать политропе.

Чтобы построить точку 2, отмечаем на пересечении прямой e'l с осью OY точку К. Из точки К проводим параллельно прямой ee' прямую KK' из a'—прямую a'm параллельно Ра, а из m—прямую mm' параллельно aa'. Проведя затем из точек m' и к' прямые, параллельные осям OY и OX, получим на их пересечении точку 2. Остальные точки политропы строятся по аналогии.

Политропа применяется при исследовании тепловых двигателей (построение индикаторной диаграммы); при этом показатель степени n принимается в пределах 1,1 —1,4. При n= 1 кривая становится равнобокой гиперболой.

Сопряжение

2010-06-22T12:38:56Z

Сопряжением называется плавный переход по кривой от одной линии к другой. Сопряжения бывают циркульные и лекальные. Построение их основано на свойствах касательных к кривым линиям. Сопряжение отрезков прямых с циркульными кривыми будет возможно, если точка сопряжения является одновременно и точкой касания прямой к дуге кривой. Следовательно, радиус сопряжения должен быть перпендикулярным к прямой в точке касания.

Сопряжение циркульных кривых возможно тогда, когда точка сопряжения будет являться одновременно и точкой касания сопрягаемых дуг. Следовательно, точка касания должна находиться на линии центров дуг окружностей.

Сопряжение пересекающихся прямых:

Пример 1. Даны пересекающиеся прямые AB и ВС и радиус сопряжения R; требуется выполнить сопряжение прямых (фиг. 66, а, б, в).

Сопряжение будет возможным, если прямые AB и ВС будут касательными к окружности радиуса R. Для нахождения центра этой окружности

необходимо провести на расстоянии R параллельно заданным прямым вспомогательные прямые до их взаимного пересечения в точке 0. Из точки О, как из центра, проводится дуга радиуса R. Точками сопряжения будут точки M и Н, определяемые пересечением прямых AB и ВС с опущенными на них перпендикулярами из точки О.

Пример 2. Даны пересекающиеся прямые AB и ВС и радиусы сопряжения R и R1 Построение сопряжения возможно, если угол а<90.

Способ построения такого сопряжения приведён на фиг. 66,г.

Сопряжение параллельных прямых

Пример 1. Даны две параллельные прямые AB и СЕ и точки сопряжения В и С (фиг. 67).

Надо построить плавное сопряжение циркульными кривыми так, чтобы оно проходило через заданную точку K, посредине отрезка ВС.

Для определения радиусов и центров дуг сопряжения делим отрезки BK и КС прямыми так, чтобы они были перпендикулярны этим отрезкам и делили их пополам. Так как радиус сопряжения должен быть перпендикулярным к прямой в точке сопряжения, то для нахождения центров О дуг сопряжения восстанавливаем из точек В и С перпендикуляры до пересечения их с ранее проведёнными перпендикулярами к прямой ВС.

Точки пересечения этих перпендикуляров определят положение центров сопряжений О—О, а равные между собой отрезки 05 и ОС дадут величины радиусов сопряжений.

Пример 2 (фиг. 68), Этот пример отличается от предыдущего

тем, что точка К взята на прямой ВС произвольно, на некотором расстоянии e от прямой СЕ; следовательно, радиусы сопряжений R и R1— разные по величине. Ход построения сопряжений такой же, как и в предыдущем примере.

П p и м e p 3. Даны: расстояние между двумя параллельными прямыми AB и СЕ, равное сумме сопрягаемых радиусов R и R1, и точка сопряжения В (фиг. 69).

Для построения сопряжения проводим параллельно AB на расстоянии R вспомогательную прямую 0—01. Центр сопряжения 0 для радиуса R будет находиться на пересечении перпендикуляра, проведённого из точки В к вспомогательной прямой. Описывая из точки О дугу радиусом R, найдём точку К, из которой радиусом R1 делаем на вспомогательной прямой засечку, определяющую центр сопряжения O1. Из точки О1 опускаем перпендикуляр на прямую СЕ и, найдя точку сопряжения С, сопрягаем точки К и С дугой радиуса R1.

Сопряжение дуги окружности с прямой

Пример 1. Построим сопряжение дуги радиуса R с прямой AB радиусом R1 (фиг. 70). Для этого необходимо найти центр сопряжения 0 и точки сопряжения С и а. Точка С является одновременно точкой их касания и должна лежать на линии центров этих дуг. Радиус сопряжения должен быть перпендикулярен к прямой AB в точке касания а. Поэтому из центра О описываем радиусом, равным сумме R+R1, дугу.

На ней будет находиться центр сопряжения 0, для определения которого проводим параллельно AB на расстоянии R1 вспомогательную прямую ее до пересечения с проведённой дугой. Соединив точки O1и О, найдём точку сопряжения С. Для определения точки а опускаем из О1 перпендикуляр на AB. Далее, радиусом R1 из центра O1 сопрягаем точки а и С.

Пример 2. Даны: дуга радиуса R, прямая AB и точка сопряжения а. Требуется найти точку сопряжения С и радиус сопряжения R1 (фиг. 71). Проводим через точку а перпендикуляр к AB, на котором откладываем вниз отрезок aK, равный R. Соединяем центр О с точкой К. Для нахождения центра сопряжения O1 проводим через середину отрезка OK перпендикулярную прямую, которая пересечётся с прямой aK в точке O1Соединив О1 с О, найдём точку сопряжения С.

Сопряжение дуг окружностей дугой окружности

Сопряжение дуг окружностей может быть внешним (фиг. 72) или внутренним (фиг. 73). В обоих случаях сопряжения выполнимы: 1) если расстояние С между центрами О и 01сопрягаемых дуг больше суммы их радиусов R и R1 (фиг. 72, а и 73, а), т.е. C>R+R1 и 2) когда C<R+R1(фиг. 72, б и 73, б). Сопряжение выполнить невозможно, если один из радиусов сопрягаемых дуг окажется большим или равным сумме величины радиуса второй сопрягаемой дуги и расстояния между центрами сопрягаемых дуг, т. е. если получится соотношение R>=C+R1 или R1>=C+R. Для внешнего сопряжения дуг сопряжение окажется также невозможно, если радиус сопрягающей дуги R2 будет меньше полуразности С — (R+R1), т. е. R2 <

<(C-(R+R1))/2. Во всех случаях решение задачи сводится к нахождению центра 02сопрягающей дуги радиуса R2 и точек сопряжения A и В.

Внешнее сопряжение. Даны: дуги радиусов R и R1 расстояние С между центрами этих дуг и радиус сопряжения R2 (фиг. 72,a). Требуется построить сопряжение при условии, что C>R+R1.

Для построения сопряжения необходимо определить центр 02 и точки сопряжения Л и В. Для нахождения центра 02 проводим из центра О дугу радиуса R2+R, а из центра О1 дугу радиуса R2+R1 Пересечение этих дуг определит центр 02. Соединив прямыми центры О и 01 с центром 02, найдём на пересечении этих прямых с соответствующими дугами точки сопряжения A и В. Полученные точки сопрягаем радиусом R2.

Построение сопряжения для случая, когда C<R+R1, дано на фиг. 72, б. Построение этого сопряжения ничем не отличается от предыдущего построения.

Внутреннее сопряжение. Даны: дуги радиусов R и R1 расстояние С между центрами этих дуг и радиус сопряжения R2 (фиг. 73, а). Требуется построить сопряжение, если C>R+R1 Решение этой задачи такое же, как и предыдущей, с той лишь разницей, что из центров О и О1 проводятся дуги радиусами R2 - R и R2 - R1.

На фиг. 73, б приведено построение сопряжения для случая, когда C<R+R1. Это построение ничем не отличается от построения, приведённого в предыдущем примере (фиг. 73,a).

Построение правильных многоугольников

2010-06-22T12:26:17Z

Построение вписанного в окружность правильного шестиугольника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения достаточно разделить окружность на шесть равных частей и соединить найденные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 —6, 4—3, 4—5 и 7—2, после чего проводим стороны 5—6 и 3—2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треугольника. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного циркуля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность равностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, проведённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0—1—2 равен 30°, то для нахождения стороны

1—2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0—1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1—2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2—3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 проводим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вершины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину—точку 1 и проводим диаметральную линию 1—4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окружностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вершинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность. Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пересекаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные стороны квадрата 4—1 и 3—2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1—2 и 4—3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диаметров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до взаимного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные прямые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересечения с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), производим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вершин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вершины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Далее от точки К на этой прямой откладываем отрезок, равный 4/6 AB.

Получим точку 1—вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведёнными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиусом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с продолжением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, проводим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересечение которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем последовательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведения лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоугольников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно производить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэффициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй—коэффициенты.

Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.